Integrales y aplicaciones

¿Qué es una integral?

Una integral es la generalización de la suma de infinitos sumandos extremadamente pequeños, continua. Es lo contrario que la derivada de una función. Existen integrales definidas e indefinidas. 

Historia de las integrales

El calculo integral ya era conocido en la Antigua Grecia y Egipto, éste tiene su origen en el estudio de áreas de figuras planas. En el siglo XVII Leibniz y Newton encuentran una relación entre el cálculo diferencial y el integral, así lo enuncian en el teorema fundamental del cálculo.

A partir del siglo XIX, con el reciente desarrollo de los límites y los conocimientos de calculo infinitesimal, el calculo integral progresó rápidamente.

Aplicaciones de las integrales

Las integrales tienen diversas aplicaciones en la ingeniería y la vida cotidiana. Algunas de las aplicaciones incluyen el cálculo de la superficie, de volumen, momento de inercia, de trabajo y muchos más. 

También en ecología y medio ambiente se usa para el conteo de organismos y cálculo del crecimiento exponencial de bacterias y especies; así como en modelos ecológicos como: crecimiento poblacional, ley de enfriamiento y calentamiento global del planeta.

En electrónica se usan al calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corrientes...

Además se usan en la administración, al trabajar con los costos de una empresa, al tener costo marginal de un producto, se puede obtener la fórmula del costo total a través de las integrales.

En química se usan para determinar los ritmos de las reacciones y el decaimiento radioactivo...

Necesitamos utilizar las integrales en cualquier campo de la ciencia, gran cantidad de avances no se podrían dar sin ellas ya que haya a donde miramos podemos verlas detrás de muchas cosas.

Estudio de funciones

El estudio de funciones es el análisis de varias características de la misma para poder representarla correctamente. Estas son las diferentes características a estudiar:

• Dominio: son los valores para los cuales la función está definida.
• Recorrido: es el conjunto de valores que toma la función.
• Discontinuidades: los puntos en los que la función se separa, es discontinua.
• Asíntotas: rectas hacia las que tiende la gráfica a medida que avanza.
• Cortes con los ejes: los puntos de corte con los ejes 0x y 0y.
• Simetría: la simetría de la función, que puede ser par o impar, o ninguna.
• Puntos críticos: los extremos relativos (máximos y mínimos) y los puntos de inflexión.
• Monotonía: el crecimiento y decrecimiento de la función.
• Curvatura: la concavidad y convexidad de la función.
• Gráfica: el dibujo de la función en el eje de coordenadas, su representación.

Aplicaciones de las derivadas y optimización

Las derivadas son realmente útiles y tienen multitud de aplicaciones. En matemáticas se utilizan para estudiar el comportamiento de las funciones, hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión, etc. También se pueden aplicar a la vida real. Estas son algunas de las aplicaciones en campos muy dispares:

• Geometría: la derivada del área es la longitud, y la del volumen es la superficie.
• Física: se pueden aplicar a la cinemática (velocidad instantánea es la derivada del espacio respecto del tiempo), a la dinámica, termodinámica, electrostática, etc.
• Química: la velocidad de reacción química es la derivada de la concentración de un reactivo o producto en función del tiempo.
  
• Biología: permite el estudio de la evolución de poblaciones.
• Medicina: permite estudiar la evolución de ciertas enfermedades o epidemias.
• Ingeniería: sirven para representar fenómenos, reducir costes o hacer estudios.
• Arquitectura: para el diseño de vías y carreteras o para obtener información de curvas complejas.

Además de todas esas aplicaciones, las derivadas también se utilizan para resolver problemas de optimización, tanto en matemáticas como para la vida real en muchos de los campos mencionados. Así, se puede lograr reducir costes, maximizar beneficios y en general aumentar la eficiencia.

Límites y continuidad

Límite y tendencia están muy relacionados. x tiende a un valor a si se pueden tomar valores de x tan próximos a a como se quiera pero sin llegar a valer a. Si la aproximación es con valores menores que a, se dice que x tiende a a por la izquierda, y si es con valores mayores que a, se dice que x tiende a a por la derecha.

Al calcular límites, pueden aparecer indeterminaciones que se han de resolver para hallar el límite.

Una función es continua en un punto si tiene un valor en dicho punto. Así, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo. Si no es así, la función presenta una discontinuidad en dicho punto. Existen discontinuidades evitables, inevitables de salto finito, inevitables de salto infinito y de segunda especie.

Estadística y probabilidad

La estadística y probabilidad se tratan del estudio del azar desde el punto de vista matemático. Así, el Cálculo de probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada en la que se da contenido concreto a la noción de probabilidad.

La probabilidad y el azar siempre han estado en la mente del ser humano. Los sumerios y asirios tallaban astrágalos (un hueso del talón de ciertos animales) para que pudiera caer en 4 posiciones distintas, siendo el precursor del dado. De hecho, los juegos con dados eran muy populares en el Imperio Romano. Hoy en día los juegos de azar continúan siendo muy populares: ruletas, loterías, tragaperras...

La probabilidad aparece en las matemáticas en el siglo XVII de la mano de Pierre Fermat y Blaise Pascal cuando intentan resolver problemas relacionados con los juegos de azar y comienzan a elaborar teorías sobre la probabilidad. Christian Huygens publicó en 1657 el primero libro sobre probabilidad: De Ratiociniis in Ludo Aleae, un tratado sobre juegos de azar. En el siglo XVIII se desarrolla el cálculo de probabilidad gracias a la gran popularidad de los juegos de azar. En 1713 surge el teorema de Bernoulli y la distribución binomial. En 1809 Gauss comienza el estudio de la teoría de errores y en 1810 Laplace completa el desarrollo de esta. Publica en 1812 Théorie analytique des probabilités, exponiendo un análisis matemático de los juegos de azar. Una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría de probabilidad ocurre en la obra de Mendel La matemática de la Herencia, en la que explica sus experimentos sobre genética llevados a cabo cruzando plantas de distintas características. A principios del siglo XX el matemático ruso Andrei Kolmogorov desarrolló la teoría de la probabilidad axiomática, estableciendo las bases de la teoría de la probabilidad moderna.

La estadística surge de la necesidad de recabar datos cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia, algo primordial desde el establecimiento de las primeras sociedades humanas organizadas.

Presumiblemente, las primeras muestras de estadística se encuentran en la isla de Cerdeña, donde se encuentran monumentos prehistóricos con signos grabados, probablemente hechos para llevar la cuenta del ganado y de la caza. Allá por el 3.000 a.C. los babilonios usaban tablillas de arcilla para recopilar datos sobre el comercio o la producción agrícola. Muchas civilizaciones, como Egipto, China o Roma, llevaban a cabo censos de su población frecuentemente.

El primer trabajo estadístico serio sobre una población se trata de un tratado sobre los nacimientos y muertes en Londres de 1604 a 1661, con las influencias que ejercían las causas naturales, sociales y políticas de dichas cifras. Fue publicado en 1662 por John Graunt, un mercader de la ciudad, quien no tenía conocimientos de otros trabajos de estadística o probabilidad. Ya en el siglo XIX, gracias al trabajo de Galton y Pearson, se logra el paso de la estadística deductiva a la estadística inductiva. Ronald Fisher desarrolla los fundamentos de la estadística actual y muchos de los métodos de inferencia. A mediados del siglo XX comienza la estadística moderna, gracias en parte a la aparición de los computadores, desarrollándose técnicas de computación intensiva aplicadas a grandes masas de datos. Así, se logra aplicar la Estadística a la Economía como nunca antes, formando una nueva disciplina: la Econometría. También aparece en este periodo la Investigación Operativa.

Propiedades métricas de rectas y planos

Comenzamos hablando del cálculo de ángulos, podemos encontrar un ángulo entre dos rectas, dos planos y una recta y un plano. Para ello solo es necesario calcular el ángulo formado por el respectivo vector director o respectivo vector normal, excepto en el caso de una recta y un plano, donde tendrás que hacer el arcoseno.

Otra propiedad sería el cálculo de proyecciones, hemos visto como podemos calcular la proyección de un punto en un plano o en una recta, y la proyección de una recta en un plano.

Uno de los usos más habituales de las proyecciones es en cartografía. Dado que La Tierra es una esfera, para representar su geografía se utilizan proyecciones como la de Mercator, que consisten en proyectar el globo terráqueo sobre un cilindro. Posteriormente, realizando un corte vertical de este cilindro se obtiene una superficie plana al que llamamos mapa. Casi todos los mapas emplean proyecciones de este tipo, aunque puede haber variaciones en la forma de construir la proyección.

Por último vemos el cálculo de distancias en geometría, hemos visto cómo hallar la distancia entre dos puntos, de un punto a un plano, entre dos planos, de una recta a un plano, de un punto a una recta y entre dos rectas. Para todo esto es necesario tener un dominio de los conceptos básicos explicados en temas anteriores y una buena capacidad espacial, para así poder relacionar conceptos y saber aplicar de forma práctica todas las fórmulas. 

En general la geometría es indispensable en nuestro día a día. Sin geometría, no podríamos construir cosas, fabricar cosas o practicar deportes con mucho éxito. La geometría no solo hace las cosas posibles en la vida cotidiana, sino que también las hace más fáciles al proporcionarnos una ciencia exacta para calcular las medidas de formas, ángulos y áreas. 

Rectas y planos en el espacio

 Para estudiar las rectas en el espacio debemos conocer las diferentes formas de expresarla, sus diferentes ecuaciones: 

Utilizaremos sobre todo la ecuación parametrica, la continua y la implícita.

Para sacar un punto de una recta debemos de dar valores, y para sacar un vector debemos hacer el determinante de una matriz en la que en la primera fila incluyamos i,j,k y en las dos siguientes los numeros que multiplican a cada incognita de cada ecuación respectivamente.

Por otra parte tenemos el plano, podemos montar su ecuación general con un punto y dos vectores. Haciendo el determinante igualado a 0 de la ecuacion que tendrá: en las dos primeras columnas las coordenadas de los dos vectores respectivamente, y en la última columna pondremos x,y,z, restando a cada término cada coordenada del punto en orden. 

Podemos hayar el vector normal de un plano (perpendicular), dándole de coordenadas los números que múltiplican a cada coordenada (x,y,z) en su ecuación.

Sabiendo estos conceptos básicos, a partir de aquí podemos calcular las posiciones relativas en el espacio de dos rectas, dos o tres planos, y una recta y un plano.

A esto podemos encontrarle inumerables aplicaciones en la vida real, la geometría en general es campo que nos sirve para cosas tan sencillas como puede ser  diseñar un folleto o encajar una pieza de cerámica en determinado espacio, así como calcular el volumen de agua o entender correctamente un plano o un mapa. Dominar los conceptos básicos no ayuda, por ejemplo, en la compresión de planos bidimensionales sobre objetos tridimensionales.

En la arquitectura concretamente es sumamente importante dominar el campo geométrico, ya que es indispensable en la construcción de edificios.