¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas, de las cuales que queremos obtener su solución común a todas ellas.
Clasificación de sistemas de ecuaciones
Se dice que dos sistemas son equivalentes si son compatibles con las mismas soluciones o si ambos son incompatibles.
Se dice que un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son nulos.
Historia de los sistemas de ecuaciones
Desde la antigüedad se utilizaron las matrices para resolver los sistemas de ecuaciones lineales, habiendo registros de éstos en Egipto y China mucho antes de que dicho conocimiento pasase a Occidente.
En el siglo XVII Leibniz desarrolla la teoría de determinantes para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, y en 1750 Cramer presenta la que será conocida como la regla de Cramer, con esta se podrá expresar el resultado de los sistemas en términos de determinantes.
En el siglo XIX el matemático Eugène Rouché enuncia el teorema de Rouché- Frobenius, el cual es posteriormente probado por el alemán Ferdinand Frobenius (de ahí el nombre), y permite calcular el número de soluciones que tendrá un sistema en función de el rango de su matriz.
Discutir un sistema
Para discutir un sistema de ecuaciones lo más recomendable es utilizar el teorema de Rouché-Frobenius. El cual dice lo siguiente:
- Si el rg(A)=rg(A*)=nº de incógnitas---------> Sistema compatible determinado (única solución real)
Los sistemas homogéneos siempre serán compatibles, al ser el término independiente nulo.
Resolución de sistemas
La resolución de sistemas de ecuaciones se puede llevar a cabo de muchas maneras diferentes sin matrices (reducción, sustitución, igualación...). Sin embargo, con matrices también existen varios métodos para resolverlos.
- Método de Gauss: Aplicando el teorema de Gauss se simplifican las ecuaciones, quedándonos así un sistema escalonado, el cual se puede resolver fácilmente por sustitución, por ejemplo.
- Regla de Cramer: Para realizar este método es necesario que el det(A) no sea 0, a su vez, el número de ecuaciones debe ser el mismo al número de incógnitas.
El numerador es el determinante resultante de sustituir la columna de los términos independientes por la primera columna en x1, la segunda en x2...
Cuando es un sistema compatible indeterminado con n incógnitas y p ecuaciones, se transforman n-p incógnitas en parámetros, importante que el determinante de la matriz de los cocientes no sea nulo.
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones:
Los sistemas de ecuaciones son utilizados en todo el mundo para resolver problemas, sobre todo en algunas ingenierías, pero también en otros ámbitos como economía o matemáticas. En filosofía las tablas de verdad también hacen uso de los sistemas de ecuaciones.
Por último, en muchas ocasiones nosotros mismos realizamos sistemas de ecuaciones en nuestra cabeza sin darnos cuenta, al razonar y emplear la lógica.
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