Determinantes

 ¿Qué es un determinante?

Un determinante es el número real que se asocia a una matriz A (también es el volumen del paralelepípedo conformado por tres vectores no coplanarios). Para calcularlo es necesario sumar todos todos los n! productos posibles de n elementos (orden de la matriz) de forma que en cada producto haya un elemento de cada fila y uno de cada columna. Se denota como det(A).

Breve historia

Los determinantes llegaron a Europa desde China en el s. XVI, donde ya se conocían desde hace cientos de años y se utilizaban para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Desde entonces, numerosos matemáticos como Leibniz, Cardano o Maclaurin hicieron grandes aportaciones a su desarrollo.

Tipos de determinantes:

• De orden 2

Estos son los más sencillos de calcular, se multiplican en cruz los 4 elementos y se resta un producto menos el otro.

• De orden 3

Para calcular los determinantes de matrices de orden 3 se recomienda seguir la regla de Sarrus (imagen), la cual indica el orden de las operaciones y su signo.

• De orden mayor a 3 (debajo)

Menores de una matriz

Son los determinantes resultantes de eliminar cualquier número de filas o columnas de una matriz de cualquier dimensión, por tanto, si deseamos calcular un determinante de una matriz no cuadrada debemos utilizar este método. También emplearemos este método para calcular el determinante de una matriz de orden >3.

Adjunto de una matriz

El adjunto de una matriz es su menor complementario multiplicado por (-1)^i+j Siendo 'i' el número que ocupa la fila excluida del menor y 'j' el de la columna. De esta manera, si la suma de ambos valores es par, el valor del menor complementario será positivo y si es impar, negativo.

Rango de una matriz

El rango de una matriz rang(A) es el número de filas o columnas linealmente independientes. Este lo podemos calcular por el método de Gauss o por determinantes. Si tomamos la última opción, es necesario tomar menores de la matriz cuyo rango queremos estudiar, si uno de ellos no es 0, significará que el rango de la matriz cuadrada es su orden. Por otro lado, si todos ellos dan 0, significará que el rango de la matriz es menor a su orden. 

En el caso de que no sea cuadrada, si en la matriz A existe un menor de orden p distinto de 0 y todos los menores de orden p+1 son nulos el rang(A) =p.

Matriz inversa (por determinantes)

Gracias a los determinantes, existe otro método para calcular la matriz inversa a otra, además del de Gauss (ver matrices). Cuya fórmula es la siguiente:

Aplicaciones de los determinantes

Los determinantes son utilizados en sectores como: 

• Hotelería
• Alimentación y nutrición
• Ingenierías